再看二元搜尋法 Binary Search（下）

已知兩整數 M < N 使得 Φ(M,N) 成立。上次我們介紹了 Netty van Gasteren 和 Wim Feijen 的二元搜尋法，能找到某個 l, M ≤ l < N，使得 Φ(l,l+1) 成立。給定一個排序好的陣列 a[0..N)（其元素為 a[0], a[1] ... a[N-1]）, 0 ≤ N。如何用 van Gasteren 與 Feijen 的方法判斷其中是否含有某個關鍵值 K 呢？

第一個念頭是用這個 Φ:

Φ(i,j) = a[i] ≤ K < a[j]

並令 M = 0。演算法結束後，Φ(l,l+1) = a[l] ≤ K < a[l+1] 一定成立，只要再看看 a[l] 是否等於 K 就可以了。但問題來了：van Gasteren-Feijen 演算法正確的兩個先決條件之一是 M < N -- van Gasteren-Feijen 演算法的迴圈設計便假設 [M,N) 這個區段不是空的，因此我們無法處理空陣列。其次是 Φ(0,N) 得要成立，但 a[0] ≤ K < a[N] 並不一定成立呢。

我們可以把上述的例外都分開測試。但 van Gasteren 與 Feijen 建議的作法是在陣列頭尾各補一個想像元素：a[-1] 小於任何數，a[N] 大於任何數。一個等價的說法是用這個Φ:

Φ(i,j)  =  (i = -1  ∨  a[i] ≤ K)  ∧  (K < a[j]  ∨  j = N)

最初令 l, r := -1, N, 那麼初始條件就滿足了。程式如下：

  { 0 ≤ N ∧ Φ(-1,N) }
  l, r := -1, N
  { Inv: -1 ≤ l < r ≤ N  ∧  Φ(l,r),   Bound: r - l }
; do l+1 ≠ r →
    { l + 2 < r }
    m := (l + r) / 2
  ; if a[m] ≤ K → l := m
    [] K < a[m] → r := m
    fi
  od
  { -1 ≤ l < N  ∧  Φ(l,l+1) }
; if l > -1 → found := a[l] = K
  [] l = -1 → found := false
  fi

如果在陣列頭尾補元素讓你覺得很不妥，別擔心。迴圈恆式保證了 -1 < m < N，因此從頭到尾，a[-1] 和 a[N] 兩個位置都沒被讀過 -- 陣列 a 並不用真正有什麼改變，兩個想像元素只是為了證明演算法正確而假想出來的。這也讓我們可以處理空陣列了。我覺得這是 van Gasteren-Feijen 演算法漂亮之處。

Bentley 的程式

Jon Bentley 在 Programming Pearls 一書中給的二元搜尋法程式如果翻譯成 guarded command language, 並把陣列索引從 [1..N] 改成 [0..N-1], 大約是這樣：

  l, r := 0, N-1
; do l ≤ r →
    m := (l + r) / 2
  ; if a[m] < K → l := m + 1
    [] a[m] = K → found := true; break
    [] K < a[m] → r := m - 1
    fi
  od
; found := false

Bentley 書中也有以口語描述的正確性證明。我原想在課堂上講解這個程式，畢竟這個版本流傳較廣 -- 許多函式庫裡的二元搜尋法程式就是這麼寫的。但困難之一是若要把 K < a[m] 和 r := m - 1 牽上關係，似乎非得提早用上陣列已排序好的性質。這個演算法便比較難在更廣泛的脈絡中解釋了。當然，另一個困難是我不知如何在 Hoare logic 中簡單地解釋 break。

乍看之下我以為 Bentley 演算法的搜尋範圍縮小得比 van Gasteren-Feijen 快：l 和 r 分別設為 m+1 與 m-1，並不是 m. 細看之後又發現並不盡然。變數 l 可設為 m+1, 因為 m 的位置已由另一個比較 a[m] = K 處理；變數 r 設為 m-1，則可能僅因為 Bentley 將陣列區段用 a[l..r-1] 表示，而 van Gasteren-Feijen 演算法把同一個區段表達為 a[l..r).

Bentley 與 van Gasteren-Feijen 演算法解的問題並不完全相同。當 K 在陣列中出現一次以上，Bentley 演算法不限定傳回哪個，van Gasteren-Feijen 則必定傳回索引最大的那個。當 K 不在陣列中時，van Gasteren-Feijen 演算法似乎較快，因為兩者都得跑完，而 van Gasteren-Feijen 的迴圈中只有一個比較（最後一個比較可省去）。Bentley 演算法若提早發現 K 可隨時跳出迴圈，代價是迴圈中多了一個比較。當陣列中確實找得到 K, 這樣的交換是否值得呢？Timothy J. Rolfe 的實驗似乎認為只用一個比較的演算法平均上仍快一些。

習題

Van Gasteren 與 Feijen 建議的幾個習題中包括這個：假設陣列 a[0..N) 是一串嚴格遞增的數字緊接著一串嚴格遞減的數字，試用二元搜尋法找到陣列中的最大值。本問題中我覺得合理的假設是遞增和遞減數列均可能為空的，但 a 至少有一個元素：

0 < N ⋀
(∃ M: 0 ≤ M < N :
  (∀ i,j : 0 ≤ i < j ≤ M : a[i] < a[j]) ⋀
  (∀ i,j : M ≤ i < j < N : a[i] > a[j]))

這剛好是「最大密度區段」問題的演算法之一需要的一個副程式。我記得當時也是先隨便寫寫，幾次寫不對才發現真是難。現在總算是知道一點理論背景，覺得安心多了。你要試試看嗎？

中間索引怎麼取？

關於中間值 m := (l+r)/2, 後來另有些其他故事。Google 的 Joshua Bloch 發現當陣列夠大時，l 和 r 相加可能造成溢位。他可不是故意挑毛病，這個 "bug" 是 Sun 抓到的。他建議該這麼寫：

int m = l + ((r - l) / 2);                          /* for Java/C/C++ */
int m = (l + r) >>> 1;                              /* for Java */
m = ((unsigned int)l + (unsigned int)r)) >> 1;      /* for C/C++ */

Bloch 的發現自然引起了不少討論。有人認為這是整數型別的問題，而不是二元搜尋法的 bug. 有人質疑，討論 int 無法索引的陣列是否有意義？接下來可能一路談到組合語言定址法上頭。有人說，要造成索引溢位，陣列得有 4GB 大，你這輩子在 4GB 的陣列中作二元搜尋過嗎？有人便答，人家可是 Google 來的。Google 的陣列比常人的大上幾倍也不是不可能的唷。

如果往抽象的極端走，Roland Backhouse 在 Program Construction: Calculating Implementations from Specifications 書中則建議應該用 m := (l + r - 1) / 2 -- 如此一來不管該語言的整數除法到底是無條件消去、四捨五入、或是無條件進入，算出來的 m 值都會是 ⌊(l + r)/2⌋.

參考資料

• Roland Backhouse. Program Construction: Calculating Implementations from Specifications. John Wiley and Sons, 2003.
• Jon Bentley. Programming Pearls, Second Edition. Addison-Wesley, 2000.
• Joshua Bloch. Extra, Extra - Read All About It: Nearly All Binary Searches and Mergesorts are Broken. Google Research Blog, June 02, 2006.
• Netty van Gasteren and Wim Feijen. The binary search revisited. AvG127/WF214, 1995.
• Timothy J. Rolfe. Analytic derivation of comparisons in binary search. SIGNUM Newsletter, Vol. 32, No. 4 (Oct 1997), pp. 15-19.